Kapitel 11$\quad$Weitere spezielle Testprobleme

Vorbemerkung$\quad$In diesem Kapitel werden die $p$-Quantile einer Standardnormalverteilung mit $z_p$ notiert, die einer $t$-Verteilung und einer $\chi^2$-Verteilung mit je $\nu$ Freiheitsgraden werden durch $t_p(\nu)$ und $\chi_p^2(\nu)$ bezeichnet. Bei einer $F$-Verteilung mit $r$ und $\nu$ Freiheitgraden schreiben wir $F_p(r,\nu)$.

Aufgabe 1$\quad$Aus zwei unabhängigen Stichproben $X_1, \ldots, X_{51}$ und $Y_1, \ldots, Y_{41}$ schätzt man:

\[
\overline{x} = 617 \, , \ \overline{y} = 530 \, , \quad \mbox{und} \quad s_x^2 = 154.6 \, , \ s_y^2 = 160.0 \, .
\]
Führen Sie einen Zweistichproben-Test auf Gleichheit der Erwartungswerte durch, d. h. auf
\[
H_0: \ \mu_x = \mu_y \quad \mbox{gegen} \quad H_1: \ \mu_x \neq \mu_y \, .
\]

1.1$\quad$Unterstellen Sie, dass die Stichproben normalverteilt sind und gleiche Varianzen haben. Es soll die $T$-Statistik berechnet werden. \[ \fbox{a} \ 530/ \quad \fbox{b} \ 617/ \quad \fbox{c} \ 87/ \quad \fbox{d} \ \sqrt{\frac{1}{92} \cdot \frac{50 \cdot 154.6 + 40 \cdot 160}{90}} \quad \fbox{e} \ \sqrt{\left(\frac{1}{51} + \frac{1}{41}\right) \cdot \frac{50 \cdot 154.6 + 40 \cdot 160}{90}}\quad \fbox{f} \ \sqrt{\left(\frac{1}{50} + \frac{1}{40}\right) \cdot \frac{51 \cdot 154.6 + 41 \cdot 160}{92}} \]

Der Wert der $T$-Statistik beträgt

Hinweis: Abschnitt 11.1.2.

1.2$\quad$Lassen Sie nun die Annahme normalverteilter Daten fallen und führen Sie einen approximativen Test durch. Es soll die $Z$-Statistik berechnet werden. \[ \fbox{a} \ (530+617)/ \quad \fbox{b} \ (617-530) / \quad \fbox{c} \ \sqrt{\frac{1}{92} \cdot \left(\frac{154.6}{51} + \frac{160}{41} \right)} \quad \fbox{d} \ \sqrt{\frac{1}{92} \cdot \left(154.6 + 160 \right)} \quad \fbox{e} \ \sqrt{\frac{154.6}{41} + \frac{160}{51} } \quad \fbox{f} \ \sqrt{\frac{154.6}{51} + \frac{160}{41}} \]

Der Wert der $Z$-Statistik beträgt

Hinweis: Abschnitt 11.1.2.

Aufgabe 2$\quad$Es bezeichne $X_i$ den Umsatz eines Gutes in Filiale $i$ vor Beginn einer Werbekampagne, $i=1, \ldots, 121$. Es stehe $Y_i$ für den entsprechenden Umsatz nach der Kampagne. Die mittleren Umsätze vor und nach der Kampagne betragen
\[
\overline{x} = 651 \, , \quad \overline{y} = 666 \, .
\]
Es bezeichne $\Delta_i = X_i - Y_i$ die normalverteilte Differenz der Umsätze. Als Varianz von $\Delta_i$ wurde erwartungstreu geschätzt: $s_\delta^2 = 52.9$. Getestet werden soll die Nullhypothese, dass die erwarteten Umsätze davor und danach gleich sind ($H_0$: $\mu_x = \mu_y$), gegen die einseitige Alternativhypothese ($H_1$: $\mu_x < \mu_y$). Berechnen Sie dazu die $T$-Statistik. \[ \fbox{a} \ 15 \quad \fbox{b} \ 11 \quad \fbox{c} \ 121 \quad \fbox{d} \ \frac{1}{7.273} \quad \fbox{e} \ \sqrt{\frac{1}{7.273}} \quad \fbox{f} \ \frac{1}{52.9} \]

Der Wert der $T$-Statistik beträgt

Hinweis: Abschnitt 11.1.1.

Aufgabe 3$\quad$In Deutschland, Finnland und Korea wurde an je 11 zufällig ausgewählten Schulen die Mathematikkompetenz von Achtklässlern untersucht. Es soll die Nullhypothese getestet werden, dass die Mathematikkompetenz in den drei Ländern im Mittel gleich ist. Die entsprechende Varianzanalyse basiert auf
der Quadratsumme innerhalb der Stichproben mit $SSW=56720.17$ und auf der Quadratsumme zwischen den Stichproben mit $SSB=9066.03$. Es darf von Normalverteilung der Daten ausgegangen werden. Geben Sie alle richtigen Antworten an.

$\fbox{a}$ Der Wert der $F$-Statistik, der mit der $F$-Verteilung verglichen wird, beträgt 0.1598.
$\fbox{b}$ Der Wert der $F$-Statistik, der mit der $F$-Verteilung verglichen wird, berechnet sich als $F=\frac{10}{2} \, \frac{SSB}{SSW}$.
$\fbox{c}$ Der Wert der $F$-Statistik, der mit der $F$-Verteilung verglichen wird, berechnet sich als $F=\frac{11}{3} \, \frac{SSB}{SSW}$.
$\fbox{d}$ Der Wert der $F$-Statistik, der mit der $F$-Verteilung verglichen wird, berechnet sich als $F=\frac{30}{2} \, \frac{SSB}{SSW}$.
$\fbox{e}$ Die Nullhypothese wird bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% abgelehnt, wenn die $F$-Statistik größer als 3.32 ist.
$\fbox{f}$ Die $F$-Statistik darf näherungsweise mit Quantilen einer $\chi^2$-Verteilung mit 33 Freiheitsgraden verglichen werden.

Folgende Behauptungen sind richtig

Hinweis: Abschnitt 11.2.

Aufgabe 4$\quad$Welche Behauptungen sind falsch? Geben Sie alle falschen Antworten an.

$\fbox{a}$ $t_p(\nu) \to z_p$ für $\nu \to \infty$.
$\fbox{b}$ $t_p^2(\nu) \to \chi^2_p(1)$ für $\nu \to \infty$.
$\fbox{c}$ $t_p^2(\nu) \to \chi^2_p(\nu)$ für $p \to \infty$.
$\fbox{d}$ $t^2_p(\nu) = F_p(1,\nu)$.
$\fbox{e}$ $r \cdot F_p(r,\nu) \to \chi^2_p(r)$ für $\nu \to \infty$.
$\fbox{f}$ $\nu \cdot F_p(r,\nu) \to \chi^2_p(r)$ für $\nu \to \infty$.

Folgende Behauptungen sind falsch

Hinweis: Abschnitt 9.2, 9.4, 11.2 und 11.3.

Aufgabe 5$\quad$Aus einer Stichprobe von 100 Datenpunkten wurde der Schiefekoeffizient wie folgt geschätzt:
\[
\widehat \gamma_1 = 0.509 \, .
\]
Testen Sie approximativ die Nullhypothese $H_0$: $\gamma_1=0$. Welche Behauptungen sind richtig? Geben Sie alle richtigen Antworten an.

$\fbox{a}$ Ein zweiseitiger Test ($H_1$: $\gamma_1 \neq 0$) lehnt zum 5%-Niveau ab.
$\fbox{b}$ Ein zweiseitiger Test ($H_1$: $\gamma_1 \neq 0$) lehnt zum 3%-Niveau ab.
$\fbox{c}$ Ein zweiseitiger Test ($H_1$: $\gamma_1 \neq 0$) lehnt zum 1%-Niveau ab.
$\fbox{d}$ Ein einseitiger Test gegen $H_1$: $\gamma_1>0$ lehnt zum 5%-Niveau nicht ab.
$\fbox{e}$ Ein einseitiger Test gegen $H_1$: $\gamma_1>0$ lehnt zum 3%-Niveau ab.
$\fbox{f}$ Ein einseitiger Test gegen $H_1$: $\gamma_1>0$ lehnt zum 1%-Niveau ab.

Folgende Behauptungen sind richtig

Hinweis: Abschnitt 11.3.1.

Aufgabe 6$\quad$Es bezeichne $n_j$ die absolute Häufigkeit, mit der bei $n=600$ Würfen beim Würfeln die Augenzahl $j$ auftaucht, $j=1,2, \ldots, 6$. Es soll überprüft werden, ob der Würfel fair ist, also ein Anpassungstest auf die Nullhypothese von Gleichverteilung durchgeführt werden. Bestimmen Sie dazu die Prüfgröße $\chi^2$, die unter der Nullhypothese einer $\chi^2(5)$-Verteilung folgt. \[ \fbox{a} \ \sum_{j=1}^6 (n_j-600)^2 \quad \fbox{b} \ \sum_{j=1}^6 (n_j-100)^2 \quad \fbox{c} \ \frac{1}{100} \quad \fbox{d} \ \sum_{j=1}^6 \left(n_j-\frac{1}{6}\right)^2 \quad \fbox{e} \ \frac{1}{600} \quad \fbox{f} \ \frac{1}{6} \]

Die $\chi^2$-Statistik lautet

Hinweis: Abschnitt 11.3.2.

Aufgabe 7$\quad$Es soll untersucht werden, ob das Wahlverhalten von Männern und Frauen unterschiedlich ist. Zum Wahlverhalten gibt es bei einer Umfrage drei Antwortmöglichkeiten:
1) Ich wähle die Partei A;
2) ich wähle die Partei A nicht;
3) ich weiß noch nicht, was ich wählen werde.
Die Nullhypothese Wahlverhalten und Geschlecht sind unabhängig soll mit der $\chi^2$-Statistik überprüft werden. (Gehen Sie von zwei Geschlechtern aus: Männer und Frauen.) Welche Behauptungen sind richtig? Geben Sie alle richtigen Antworten an.

$\fbox{a}$ Die Nullhypothese wird zum 5%-Niveau abgelehnt, wenn $\chi^2 > \chi^2_{0.95}(1)$.
$\fbox{b}$ Die Nullhypothese wird zum 5%-Niveau abgelehnt, wenn $\chi^2 > \chi^2_{0.05}(1)$.
$\fbox{c}$ Die Nullhypothese wird zum 5%-Niveau abgelehnt, wenn $\chi^2 > \chi^2_{0.05}(2)$.
$\fbox{d}$ Die Nullhypothese wird zum 5%-Niveau abgelehnt, wenn $\chi^2 > \chi^2_{0.95}(2)$.
$\fbox{e}$ Die Nullhypothese wird zum 5%-Niveau abgelehnt, wenn $\chi^2 < \chi^2_{0.95}(2)$.
$\fbox{f}$ Die Nullhypothese wird zum 10%-Niveau abgelehnt, wenn $\chi^2 > 4.605$.
Folgende Behauptungen sind richtig

Hinweis: Abschnitt 11.4.1.

Aufgabe 8$\quad$Es bezeichne $r_{xy}$ den empirischen Korrelationskoeffizienten aus der bivariaten, normalverteilten Stichprobe $(X_1, Y_1), \ldots, (X_n, Y_n)$. Es soll die Nullhypothese von Unkorreliertheit getestet werden. Geben Sie die Gestalt der $T$-Statistik an. \[ \fbox{a} \ r_{xy}^2 \quad \fbox{b} \ (n-2) \quad \fbox{c} \ r_{xy} \quad \fbox{d} \ \sqrt{n-2} \quad \fbox{e} \ \frac{1}{\sqrt{1-r_{xy}^2}} \quad \fbox{f} \ \frac{1}{\sqrt{1-r_{xy}}} \]

Die $T$-Statistik lautet

Hinweis: Abschnitt 11.4.2.

Aufgabe 9$\quad$Es bezeichne $X_i$ den Umsatz eines Gutes in Filiale $i$ vor Beginn einer Werbekampagne, $i=1, \ldots, 500$. Es stehe $Y_i$ für den entsprechenden Umsatz nach der Kampagne. Es bezeichne $\Delta_i = X_i - Y_i$ die Differenz der Umsätze. Getestet werden soll zweiseitig die Nullhypothese, dass die erwarteten Umsätze davor und danach gleich sind ($H_0$: $\mu_x = \mu_y$), gegen die Alternativhypothese $H_1$: $\mu_x \neq \mu_y$. Der realisierte Wert der $T$-Statistik beträgt $t^r = 2.17$. Bestimmen Sie daraus den $P$-Wert. \[ \fbox{a} \ 1\% \quad \fbox{b} \ 2\% \quad \fbox{c} \ 3\% \quad \fbox{d} \ 4\% \quad \fbox{e} \ 5\% \quad \fbox{f} \ 6\% \]

Der $P$-Wert beträgt

Hinweis: Abschnitt 10.3 und 11.1.1.

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