Kapitel 10$\quad$Statistische Tests

Aufgabe 1$\quad$Es seien $X_1, \ldots, X_n$ unabhängig und identisch normalverteilte Zufallsvariablen mit Varianz $\sigma^2$ und Erwartungswert $\mu$: $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$. Aus einer Stichprobe vom Umfang $n=10$ wurde $\overline x = 99.98$ geschätzt.

1.1$\quad$Unterstellen Sie, dass die Varianz der Variablen bekannt ist und $\sigma^2 = 256$ beträgt. Zum Test der Nullhypothese $H_0$: $\mu=100$ soll die $z$-Statistik berechnet werden. \[ \fbox{a} \ 0.02 \quad \fbox{b} \ 0.2 \quad \fbox{c} \ - 0.02 \sqrt{10} \quad \fbox{d} \ 99.98 \quad \fbox{e} \ / 16 \quad \fbox{f} \ / 256 \]

Der Wert der $z$-Statistik beträgt

Hinweis: Abschnitt 10.2.

1.2$\quad$Unterstellen Sie nun, dass die Varianz der Variablen unbekannt ist und durch $s^2 = 269.3$ erwartungstreu geschätzt wird. Zum Test der Nullhypothese $H_0$: $\mu=100$ soll die $t$-Statistik berechnet werden. \[ \fbox{a} \ \sqrt{\frac{10}{269.3}} \quad \fbox{b} \ \frac{\sqrt{10}}{269.3} \quad \fbox{c} \ \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{269.3}} \quad \fbox{d} \ -2 \quad \fbox{e} \ - 0.2 \quad \fbox{f} \ (99.98-100) \]

Der Wert der $t$-Statistik beträgt

Hinweis: Abschnitt 10.2.

Aufgabe 2$\quad$Es sei $X_1, \ldots, X_n$ eine Poisson-verteilte Zufallsstichprobe, $X_i \sim Po(\lambda)$. Der unbekannte Parameter wird (nach der Momentenmethode) geschätzt: $\widehat \lambda = \overline X.$ Zum Test der Nullhypothese $H_0$: $\lambda = \lambda_0$ soll die approximativ normalverteilte $Z$-Statistik herangezogen werden.
\[ \fbox{a} \ \lambda \quad \fbox{b} \ (\widehat \lambda - \lambda_0) \quad \fbox{c} \ \sqrt{n} \quad \fbox{d} \ \frac{1}{\sqrt{\widehat \lambda }} \quad \fbox{e} \ \frac{1}{{\widehat \lambda }} \quad \fbox{f} \ \frac{1}{{\widehat \lambda }^2} \]

Die $Z$-Statistik lautet

Hinweis: Abschnitt 6.1 und 10.2.3.

Aufgabe 3$\quad$Es sei $X_1, \ldots, X_n$ eine normalverteilte Zufallsstichprobe mit unbekanntem Erwartungswert $ \mu$ und Varianz $ \sigma^2 =4$. Getestet werden soll zweiseitig $H_0$: $\mu= 0$ gegen $H_1$: $\mu \neq 0.$

3.1$\quad$Für $n=36$ ergibt sich $\bar x = -0.7$. Geben Sie alle Signifikanzniveaus an, zu denen $H_0$ nicht abgelehnt werden kann. \[ \fbox{a} \ 10\% \quad \fbox{b} \ 1\% \quad \fbox{c} \ 5\% \quad \fbox{d} \ 8\% \quad \fbox{e} \ 6\% \quad \fbox{f} \ 3 \% \]

$H_0$ kann nicht abgelehnt zu den Niveaus

Hinweis: Abschnitt 10.3.

3.2$\quad$Für $n=25$ realisiert sich aus einer neuen Stichprobe als Wert der Teststatistik $z^r = - 1.28$. Bestimmen Sie den $P$-Wert.\[ \fbox{a} \ 0.2006 \quad \fbox{b} \ 0.3006 \quad \fbox{c} \ 0.4006 \quad \fbox{d} \ 0.5006 \quad \fbox{e} \ 0.6006 \quad \fbox{f} \ 0.7002 \]

Als $P$-Wert ergibt sich (approximativ)

Hinweis: Abschnitt 10.3.

Aufgabe 4$\quad$Für den unbekannten Erwartungswert $\mu$ einer Stichprobe ergaben sich drei realisierte Konfidenzintervalle zu den Niveaus 90%, 95% und 99%:
\[
KI_{0.9} =[93.30; 98.70] \, , \quad KI_{0.95} = [93.78; 100.22] \, , \quad KI_{0.99} =[91.27; 100.73] \, .
\]
Getestet werden soll zweiseitig
\[
H_0: \ \mu= 100 \quad \mbox{gegen} \quad H_1: \ \mu \neq 100 \, .
\]
Geben Sie alle Signifikanzniveaus an, zu denen $H_0$ abgelehnt werden kann. \[ \fbox{a} \ 10\% \quad \fbox{b} \ 1\% \quad \fbox{c} \ 5\% \quad \fbox{d} \ 15\% \quad \fbox{e} \ 2\% \quad \fbox{f} \ 3 \% \]

$H_0$ kann abgelehnt zu den Niveaus

Hinweis: Abschnitt 10.5.

Aufgabe 5$\quad$Es sei $X_1, \ldots, X_n$ eine Bernoulli-verteilte Zufallsstichprobe, $X_i \sim Be(p)$. Der unbekannte Parameter wird durch die relative Häufigkeit geschätzt: $\widehat p = \overline X.$ Zum Test der Nullhypothese $H_0$: $p=0.5$ gegen die Alternative $H_1$: $p<0.5$ soll die approximativ normalverteilte $Z$-Statistik herangezogen werden.
\[ \fbox{a} \ p \quad \fbox{b} \ (\widehat p - 0.5) \quad \fbox{c} \ \sqrt{n} \quad \fbox{d} \ \frac{1}{\sqrt{\widehat p}} \quad \fbox{e} \ \frac{1}{\sqrt{\widehat p (1-\widehat p)}} \quad \fbox{f} \ \frac{1}{{\widehat p (1-\widehat p)}} \]

Die $Z$-Statistik lautet

Hinweis: Abschnitt 10.4.

Aufgabe 6$\quad$Es sei $X_1, \ldots, X_n$ eine normalverteilte Zufallsstichprobe, $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$. Getestet werden soll die Nullhypothese $H_0$: $\sigma^2 = \sigma_0^2$ gegen die Alternative $H_1$: $\sigma^2 \neq \sigma_0^2$. Welche der folgenden Bedingungen führen zu einer Ablehnung von $H_0$ bei einem Signifikanzniveau von $\alpha$, $0 < \alpha < 1$? Geben Sie alle richtigen Antworten an. Dabei bezeichnet $\chi_\alpha^2 (n-1)$ das $\alpha$-Quantil einer $\chi^2$-Verteilung mit $n-1$ Freiheitsgraden.

$\fbox{a}$ $\chi^2_{\frac{\alpha}{2}} (n-1) < \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \overline X)^2 }{\sigma_0^2} < \chi^2_{1 - \frac{\alpha}{2}} (n-1)$.
$\fbox{b}$ $\frac{(n-1) S^2}{\sigma_0^2} > \chi^2_{{\alpha}} (n-1)$.
$\fbox{c}$ $\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \overline X)^2 }{\sigma_0^2} > \chi^2_{1 - \frac{\alpha}{2}} (n-1)$.
$\fbox{d}$ $\frac{(n-1) S^2}{\sigma_0^2} < \chi^2_{{\alpha}} (n-1)$.
$\fbox{e}$ $\frac{(n-1) S^2}{\sigma_0^2} < \chi^2_{ \frac{\alpha}{2}} (n-1)$.
$\fbox{f}$ $\chi^2_{\alpha} (n-1) < \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \overline X)^2 }{\sigma_0^2} < \chi^2_{1 - {\alpha}} (n-1)$.

Folgende Behauptungen sind richtig

Hinweis: Abschnitt 10.6.

Aufgabe 7$\quad$Welche Behauptungen sind richtig? Geben Sie alle richtigen Antworten an. Die Ablehnung einer Nullhypothese $H_0$ mit der Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ bedeutet:

$\fbox{a}$ die Gegenhypothese $H_1$ ist richtig.
$\fbox{b}$ die Gegenhypothese $H_1$ ist mit Wahrscheinlichkeit $\alpha$ richtig.
$\fbox{c}$ die Nullhypothese $H_0$ ist mit Wahrscheinlichkeit $\alpha$ falsch.
$\fbox{d}$ die Wahrscheinlichkeit, $H_0$ nicht abzulehnen, wenn $H_0$ richtig ist, beträgt mindestens $1-\alpha$.
$\fbox{e}$ die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art beträgt mindestens $\alpha$.
$\fbox{f}$ die Entscheidung ist unabhängig von $1-\alpha$.

Folgende Behauptungen sind richtig

Hinweis: Abschnitt 10.1.

Aufgabe 8$\quad$Es sei $X_1, \ldots, X_n$ eine normalverteilte Zufallsstichprobe mit bekannter Varianz, $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$. Getestet werden soll die Nullhypothese $H_0$: $\mu = \mu_0$ gegen die zweiseitige Alternative $H_1$: $\mu \neq \mu_0$, und zwar mit der $Z$-Statistik $Z=\sqrt{n} (\overline X - \mu_0) / \sigma$. Welche Behauptungen sind richtig? Geben Sie alle richtigen Antworten an. Beim Entscheiden dieses zweiseitigen Parametertests zum Signifikanzniveau $\alpha$ ...

$\fbox{a}$ begeht man mit Wahrscheinlichkeit $\alpha$ einen Fehler 2. Art, wenn man die Hypothese annimmt.
$\fbox{b}$ beträgt die Wahrscheinlichkeit, $H_0$ nicht abzulehnen, wenn diese Hypothese wahr ist, gerade $1-\alpha$.
$\fbox{c}$ lehnt man die Nullhypothese mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von $\alpha $ ab, wenn das zugehörige Konfidenzintervall länger als $1-\alpha $ ist.
$\fbox{d}$ lehnt man die Nullhypothese mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von $\alpha $ ab, wenn das zugehörige Konfidenzintervall den Parameterwert unter der Nullhypothese überdeckt.
$\fbox{e}$ ist die Fehlerwahrscheinlichkeit unabhängig von $\alpha$.
$\fbox{f}$ beträgt die Wahrscheinlichkeit, $H_0$ abzulehnen, wenn diese Hypothese wahr ist, gerade $\alpha$.

Folgende Behauptungen sind richtig

Hinweis: Abschnitt 10.2 und 10.7.

Aufgabe 9$\quad$Für einen Anteilswert $p$ soll die Hypothese $H_0$: $p\geq p_0$ getestet werden. Welche Aussagen über die zugehörige Gütefunktion $G(p)$ sind richtig? Geben Sie alle richtigen Antworten an. Die Gütefunktion $G(p)$ gibt ...

$\fbox{a}$ für jeden Wert von $p$ die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass $H_0$ verworfen wird.
$\fbox{b}$ für jeden Wert von $p$ die Wahrscheinlichkeit für eine richtige Entscheidung an.
$\fbox{c}$ für jedes $p<p_0$ die Wahrscheinlichkeit für eine richtige Entscheidung an.
$\fbox{d}$ für jedes $p\geq p_0$ die Wahrscheinlichkeit für eine richtige Entscheidung an.
$\fbox{e}$ für jeden Wert von $p$ die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Prüfgröße in den Ablehnbereich fällt.
$\fbox{f}$ an, ob $H_0$ abgelehnt wird, wenn $p$ der tatsächliche Anteilswert ist.

Folgende Behauptungen sind richtig

Hinweis: Abschnitt 10.7.

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