Kapitel 9$\quad$Konfidenzintervalle

Vorbemerkung$\quad$In diesem Kapitel werden die $p$-Quantile einer Standardnormalverteilung mit $z_p$ notiert, die einer $t$-Verteilung und einer $\chi^2$-Verteilung mit je $\nu$ Freiheitsgraden werden durch $t_p(\nu)$ und $\chi_p^2(\nu)$ bezeichnet. Davon abgesehen gelten die üblichen Notationen aus dem Buch.

Aufgabe 1$\quad$Es seien $X_1, \ldots, X_n$ unabhängig und identisch normalverteilte Zufallsvariablen mit Varianz $\sigma^2$ und Erwartungswert $\mu$: $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$. Aus einer Stichprobe vom Umfang $n=10$ wurden $\overline x = 99.98$ und $s^2 = 269.30$ geschätzt.

1.1$\quad$Bestimmen Sie das realisierte Konfidenzintervall der Gestalt $[A; B]$ für $\mu$ zum $90\,\%$-Niveau.\[ \fbox{a} \ [90.467; \quad \fbox{b} \ [99.029; \quad \fbox{c} \ [93.029; \quad \fbox{d} \ \overline x + t_{0.9}(9) s /\sqrt{10} ] \quad \fbox{e} \ 99.98 + t_{0.95}(9) s /\sqrt{10} ] \quad \fbox{f} \ \overline x + t_{0.95}(9) s /3 ] \]

Das Konfidenzintervall lautet

Hinweis: Abschnitt 9.2.

1.2$\quad$Bestimmen Sie das realisierte Konfidenzintervall der Gestalt $[A; B]$ für $\sigma^2$ zum $95\,\%$-Niveau.\[ \fbox{a} \ \left[ \frac{9 s^2}{\chi^2_{0.975}(10)}; \right. \quad \fbox{b} \ \left[ \frac{10 s^2}{\chi^2_{0.975}(10)}; \right. \quad \fbox{c} \ \left[ \frac{9 s^2}{\chi^2_{0.975}(9)}; \right. \quad \fbox{d} \ 897.67] \quad \fbox{e} \ 813.67] \quad \fbox{f} \ 863.13 ] \]

Das Konfidenzintervall lautet

Hinweis: Abschnitt 9.4.

Aufgabe 2$\quad$Es soll bestimmt werden, wie hoch die Einschaltquote bei einer Fernseh-Show ist. Dazu werden 2000 zufällig ausgewählte Personen befragt. Es bezeichne $p$ den Anteil derer, die die Show sehen. Der Schätzwert für den Anteil beträgt $\widehat p = 0.37$. Bestimmen Sie das zugehörige realisierte Konfidenzintervall der Gestalt $[A;B]$ bei einem Konfidenzniveau von $90\,\%$.
\[ \fbox{a} \ \left[ \widehat p - z_{0.95} \frac{\sqrt{\widehat p (1 - \widehat p)}}{2000}; \right. \quad \fbox{b} \ \left[ \widehat p - z_{0.95} \sqrt{\frac{\widehat p (1 - \widehat p)}{2000}}; \right. \quad \fbox{c} \ \left[ \widehat p - z_{0.9} \sqrt{\frac{\widehat p (1 - \widehat p)}{2000}}; \right. \quad \fbox{d} \ 0.38776] \quad \fbox{e} \ 0.37876] \quad \fbox{f} \ 0.36778 ] \]

Das Konfidenzintervall lautet

Hinweis: Abschnitt 9.3.

Aufgabe 3$\quad$Es sei $X_1, \ldots, X_n$ eine normalverteilte Zufallsstichprobe mit bekannter Varianz $\sigma^2 = 3.6$. Für $n=49$ schätzt man $\bar x = 27.3$. Bestimmen Sie das realisierte Konfidenzintervall der Gestalt $[m \pm \delta]$ für $\mu$ zum Konfidenzniveau $95\,\%$.
\[ \fbox{a} \ \left. \frac{\sqrt{3.6}}{49} \right] \quad \fbox{b} \ \left. \frac{\sqrt{3.6}}{7} \right] \quad \fbox{c} \ [3.6 \pm \quad \fbox{d} \ 1.6449 \quad \fbox{e} \ 1.96 \quad \fbox{f} \ [27.3 \pm \]

Das Konfidenzintervall lautet

Hinweis: Abschnitt 9.2.

Aufgabe 4$\quad$Es sei $p$ der Anteil der Fahrschüler(innen), die beim ersten Versuch die Fahrprüfung bestehen. Man ist am (approximativen) Konfidenzintervall für $p$ zum Niveau 99 % interessiert. Das Konfidenzintervall darf auf keinen Fall länger als 0.02 sein. Wie groß muss dann der Stichprobenumfang mindestens sein?
\[ \fbox{a} \ z_{0.99}^2 \quad \fbox{b} \ z_{0.95}^2 \quad \fbox{c} \ / \quad \fbox{d} \ 0.02^2 \quad \fbox{e} \ 1.96^2 \quad \fbox{f} \ 2.5758^2 \]

Der Stichprobenumfang muss mindestens betragen.

Hinweis: Abschnitt 9.3.

Aufgabe 5$\quad$Es sei $T$ eine $t$-verteilte Zufallsvariable mit 7 Freiheitsgraden, $T \sim t(7)$. Geben Sie alle richtigen Antworten an.

$\fbox{a}$ $\mbox{P} (T > t_{1-\alpha/2} (7)) = \mbox{P} (T < - t_{1-\alpha/2} (7)) $.
$\fbox{b}$ Für den Schiefekoeffizienten $\gamma_1$ gilt $\gamma_1=0$.
$\fbox{c}$ Für den Wölbungskoeffizienten $\gamma_2$ gilt $\gamma_2=1$.
$\fbox{d}$ Für den Wölbungskoeffizienten $\gamma_2$ gilt $\gamma_2=6$.
$\fbox{e}$ $t_{0.9} (7) = 1.4149$.
$\fbox{f}$ $t_{0.9} (7) = t_{-0.9} (7)$.

Folgende Behauptungen sind richtig

Hinweis: Abschnitt 9.2.

Aufgabe 6$\quad$Es sei $X$ eine $\chi^2$-verteilte Zufallsvariable mit 7 Freiheitsgraden, $X \sim \chi^2(7)$. Geben Sie alle richtigen Antworten an.

$\fbox{a}$ $\mbox{P} (X > \chi^2_{1-\alpha} (7)) = \mbox{P} (X < \chi^2_{\alpha} (7)) $.
$\fbox{b}$ Für den Schiefekoeffizienten $\gamma_1$ gilt $\gamma_1=0$.
$\fbox{c}$ Für den Schiefekoeffizienten $\gamma_1$ gilt $\gamma_1=\sqrt{8/7}$.
$\fbox{d}$ Für den Schiefekoeffizienten $\gamma_1$ gilt $\gamma_1=\sqrt{7/8}$.
$\fbox{e}$ Für den Erwartungswert gilt $\mbox{E}(X)=14$.
$\fbox{f}$ Für den Erwartungswert gilt $\mbox{E}(X)=7$.

Folgende Behauptungen sind richtig

Hinweis: Abschnitt 9.4.

Aufgabe 7$\quad$Es seien $X_1, \ldots, X_n$ unabhängig und identisch normalverteilte Zufallsvariablen mit Varianz $\sigma^2$ und Erwartungswert $\mu$: $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$. Geben Sie für $D^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline X)^2$ und $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline X)^2$ alle richtigen Antworten an.

$\fbox{a}$ $X_i^2 \sim \chi^2(1)$ für $i=1, \ldots, n$.
$\fbox{b}$ $n \frac{S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2 (n)$.
$\fbox{c}$ $n \frac{D^2}{\sigma^2} \sim \chi^2 (n-1)$.
$\fbox{d}$ $\mbox{E} \left( \frac{S^2}{\sigma^2}\right) =1$.
$\fbox{e}$ $\mbox{Var} \left( \frac{S^2}{\sigma^2}\right) =2$.
$\fbox{f}$ $\mbox{Var} \left( \frac{S^2}{\sigma^2}\right) =n-1$.

Folgende Behauptungen sind richtig

Hinweis: Abschnitt 9.4.

Aufgabe 8$\quad$Es sei $T$ eine $t$-verteilte Zufallsvariable mit $\nu$ Freiheitsgraden, $T \sim t(\nu)$. Geben Sie alle richtigen Antworten an.

$\fbox{a}$ $t_{0.95} (\nu) \to 1.6449$ für $\nu \to \infty$.
$\fbox{b}$ $t_{0.975} (\nu) \to 1.96$ für $\nu \to \infty$.
$\fbox{c}$ Für den Schiefekoeffizienten $\gamma_1$ gilt $\gamma_1 \to \infty$ für $\nu \to \infty$.
$\fbox{d}$ Für den Wölbungskoeffizienten $\gamma_2$ gilt $\gamma_2 \to \infty$ für $\nu \to \infty$.
$\fbox{e}$ Für den Erwartungswert gilt $\mbox{E}(T)=\nu$.
$\fbox{f}$ Für die Varianz gilt $\mbox{Var}(T)=2\nu$.

Folgende Behauptungen sind richtig

Hinweis: Abschnitt 9.2.

Aufgabe 9$\quad$Es sei $X_1, \ldots, X_n$ eine Poisson-verteilte Zufallsstichprobe, $X_i \sim Po(\lambda)$. Der unbekannte Parameter wird (nach der Momentenmethode) geschätzt: $\widehat \lambda = \overline X$. Bestimmen Sie (approximativ!) ein Konfidenzintervall der Gestalt $[m \pm \delta]$ für $\lambda$ zum Konfidenzniveau $1-\alpha$.
\[ \fbox{a} \ \left. z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat \lambda (1-\widehat \lambda)}{n}}\right] \quad \fbox{b} \ \left. z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat \lambda}{n}}\right] \quad \fbox{c} \ \left. z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1-\widehat \lambda}{n}}\right] \quad \fbox{d} \ \left[ \widehat \lambda \pm \right. \quad \fbox{e} \ \left[ \frac{1}{\widehat \lambda} \pm \right. \quad \fbox{f} \ \left[ \mu \pm \right. \]

Das Konfidenzintervall lautet

Hinweis: Abschnitt 6.1 und 9.2.3.

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