Kapitel 8$\quad$Parameterschätzung

Vorbemerkung$\quad$In diesem Kapitel gelten die üblichen Abkürzungen, $\overline X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, $\overline{X^2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ und $D^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline X)^2$.

Aufgabe 1$\quad$Es seien $X_1, \ldots, X_n$ unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Varianz $\sigma^2$ und Erwartungswert $\mu = 2 \theta /3$.

1.1$\quad$Bestimmen Sie den Momentenschätzer $\widehat{\theta}_{MM}$ für $\theta$.\[ \fbox{a} \ 2 \quad \fbox{b} \ 3 \quad \fbox{c} \ \mu \quad \fbox{d} \ 3 \mu \quad \fbox{e} \ \overline X / \quad \fbox{f} \ 1/ \overline X \]

Der Momentenschätzer lautet .

Hinweis: Abschnitt 8.3.

1.2$\quad$Bestimmen Sie den Erwartungswert von $\widehat \theta$ gegeben durch $\widehat \theta = 1.5 \cdot \overline X$.
\[ \fbox{a} \ \mu \quad \fbox{b} \ \frac{1}{\mu} \quad \fbox{c} \ \frac{\mu}{\sigma} \quad \fbox{d} \ \sigma^2 \quad \fbox{e} \ 0 \quad \fbox{f} \ \theta \]

Der Erwartungswert lautet .

Hinweis: Abschnitt 8.2.1.

Aufgabe 2$\quad$Es bezeichne $MQF(\widehat \theta)$ den mittleren quadratischen Fehler einer für $\theta$ konsistenten Schätzfunktion $\widehat \theta = g(X_1, \ldots, X_n)$, und $b (\widehat \theta)$ stehe für die Verzerrung (Bias). Geben Sie alle richtigen Antworten an.

$\fbox{a}$ $MQF(\widehat \theta) = 0$.
$\fbox{b}$ $MQF(\widehat \theta)=\mbox{Var}(\widehat \theta)+\mbox{E}(\widehat \theta)$.
$\fbox{c}$ $MQF(\widehat \theta)=\mbox{Var}(\widehat \theta)+b(\widehat \theta)$.
$\fbox{d}$ $MQF(\widehat \theta)=\mbox{Var}(\widehat \theta)+ \left(b(\widehat \theta)\right)^2$.
$\fbox{e}$ $MQF(\widehat \theta)=\mbox{Var}(\widehat \theta)- \left(b(\widehat \theta)\right)^2$.
$\fbox{f}$ $MQF(\widehat \theta) \ \to \ 0$ für $n \to \infty$.

Folgende Behauptungen sind richtig .

Hinweis: Abschnitt 8.2.2.

Aufgabe 3$\quad$Betrachten Sie eine Zufallsvariable mit der Dichtefunktion
\[
f(x) = \theta \, e^{-\theta x } \, , \quad x \geq 0 \,
, \ \theta
> 0 \, ,
\]
und $f(x)=0$ für $x < 0$. Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzwert für $\theta$ aus einer Stichprobe $x_1$, ..., $x_n$.
\[ \fbox {a} \ \left(\overline x \right)^2 \quad \fbox {b} \ \frac{n-1}{\sum_{i=1}^n x_i} \quad \fbox {c} \ n \cdot \overline x \quad \fbox{d} \ n / \quad \fbox {e} \ n / \, \overline x \quad \fbox {f} \ 1/ \, \left(\overline x \right)^2 \]

Der Maximum-Likelihood-Schätzwert lautet .

Hinweis: Abschnitt 8.3.

Aufgabe 4$\quad$Es seien $X_1, \ldots, X_5$ Zufallsvariablen mit $\mbox{E} (X_i) = (1-p)/p$, $\, p \in (0,1)$. Beobachtet wird die Stichprobe
\[
x_1=3 \, , \ x_2=2 \, , \ x_3=1 \, , \ x_4=4 \, , \ x_5=0 \, .
\]
Bestimmen Sie daraus den Schätzwert für $p$ nach der Momentenmethode.
\[ \fbox {a} \ 1/ \quad \fbox {b} \ 3 \quad \fbox {c} \ 4 \quad \fbox {d} \ \overline x \quad \fbox {e} \ \overline x / \quad \fbox {f} \ p \]

Der Schätzwert nach der Momentenmethode lautet .

Hinweis: Abschnitt 8.3.

Aufgabe 5$\quad$Betrachten Sie eine Zufallsstichprobe $X_1$, ..., $X_n$ mit der Dichtefunktion
\[
f(x) = {2 \, \frac{x}{\lambda} \, e^{-x^2/\lambda }} \, , \quad x > 0 \,
, \ \lambda > 0 \, ,
\]
und $f(x)=0$ für $x \leq 0$. Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für $\lambda$.
\[ \fbox {a} \ \left(\overline X \right)^2 \quad \fbox {b} \ - \quad \fbox {c} \ \frac{1}{\left(\overline X \right)^2} \quad \fbox{d} \ D^2 \quad \fbox {e} \ + \quad \fbox {f} \ 1/ \]

Der Maximum-Likelihood-Schätzer lautet .

Hinweis: Abschnitt 8.3.

Aufgabe 6$\quad$Es seien $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ unabhängige Zufallsvariablen, die einer Doppelexponentialverteilung folgen mit $\lambda >0 $. Es bezeichnen $\widehat{\lambda}_{MM}$ und $\widehat{\lambda}_{ML}$ die Schätzer für $\lambda$ nach der Momenten- und der Maximum-Likelihood-Methode. Geben Sie alle richtigen Antworten an.

$\fbox{a}$ $\widehat{\lambda}_{ML} = \widehat{\lambda}_{MM}$.
$\fbox{b}$ $\widehat{\lambda}_{ML} > 0$.
$\fbox{c}$ $\widehat{\lambda}_{MM} = \overline X$.
$\fbox{d}$ $\widehat{\lambda}_{MM} = \frac{1}{\overline X}$.
$\fbox{e}$ $\widehat{\lambda}_{MM}$ ist nicht definiert.
$\fbox{f}$ $\widehat{\lambda}_{MM} = \frac{1}{\sum_{i=1}^n |X_i|}$.

Folgende Behauptungen sind richtig .

Hinweis: Abschnitt 6.2 und 8.3.

Aufgabe 7$\quad$Betrachten Sie die mittlere quadratische Abweichung $D^2$ und die Stichprobenvarianz $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline X)^2$. Geben Sie alle richtigen Antworten an.

$\fbox{a}$ $\mbox{E} (D^2) = \mbox{E} (S^2) $.
$\fbox{b}$ $\mbox{Var} (D^2) = \mbox{Var} (S^2)$.
$\fbox{c}$ $\mbox{E} (D^2) < \mbox{E} (S^2)$.
$\fbox{d}$ $\mbox{E} (D^2) = (1 - \frac{1}{n}) \mbox{E} (S^2)$.
$\fbox{e}$ $\mbox{E} (D^2) - \mbox{E} (S^2) \ \to \ 0$ mit $n \to \infty$.
$\fbox{f}$ $\mbox{E} (S^2) \ \to \ 0$ mit $n \to \infty$.

Folgende Behauptungen sind richtig .

Hinweis: Abschnitt 8.2.

Aufgabe 8$\quad$Es sei $\widehat \theta$ ein für $\theta$ konsistenter Schätzer, $n \to \infty$. Geben Sie alle richtigen Antworten an.

$\fbox{a}$ Die Verzerrung (Bias) des Schätzers strebt gegen 0 für $n \to \infty$.
$\fbox{b}$ Der Schätzer ist unverzerrt.
$\fbox{c}$ Die Verzerrung (Bias) des Schätzers strebt gegen $\theta$ für $n \to \infty$.
$\fbox{d}$ Der Erwartungswert des Schätzers strebt gegen 0 für $n \to \infty$.
$\fbox{e}$ Der mittlere quadratische Fehler des Schätzers strebt gegen $\theta$ für $n \to \infty$.
$\fbox{f}$ Die Varianz des Schätzers strebt gegen 0 für $n \to \infty$.

Folgende Behauptungen sind richtig .

Hinweis: Abschnitt 8.2.

Aufgabe 9$\quad$Die Einkommensvariablen $X_1, \ldots, X_n$ folgen einer Pareto-Verteilung, $X_i \sim Pa(\theta; 1000)$, mit einem Mindesteinkommen von $x_0=1000$. Bestimmen Sie den Momentenschätzer $\widehat{\theta}_{MM}$.
\[ \fbox {a} \ \left(\overline X - 1000\right) \quad \fbox {b} \ \left(1000 - \overline X \right) \quad \fbox {c} \ \left({\overline X}^{-1} - 1000\right) \quad \fbox{d} \ n/ \quad \fbox {e} \ \overline X / \quad \fbox {f} \ - \overline X / \]

Der Momentenschätzer lautet .

Hinweis: Abschnitt 6.2 und 8.3.

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