Kapitel 7$\quad$Summen und Mittel von Stichprobenvariablen

Vorbemerkung$\quad$In diesem Kapitel steht $ \Phi(\cdot)$ für die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, $z_p$ bezeichnet das entsprechende Quantil: $\Phi (z_p)=p.$

Aufgabe 1$\quad$Eine Privatperson versendet 1200 Emails im Jahr. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Email nicht zugestellt wird, beträgt $1/1000$. Der Erfolg oder Misserfolg bei der Zustellung einzelner Emails sei unabhängig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Jahr mindestens eine Email nicht zugestellt wird?

1.1$\quad$Approximieren Sie mit der Poisson-Verteilung.\[ \fbox{a} \ e^{-1200} \quad \fbox{b} \ \frac{1}{e^{1.2}} \quad \fbox{c} \ e^{1.2} \quad \fbox{d} \ 1 + \quad \fbox{e} \ 1 - \quad \fbox{f} \ 0.5 - \]

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt approximativ .

Hinweis: Abschnitt 6.1.

1.2$\quad$Approximieren Sie mit dem zentralen Grenzwertsatz.
\[ \fbox{a} \ 1 + \quad \fbox{b} \ \Phi(1.2) \quad\fbox{c} \ 1 - \quad \fbox{d} \ \Phi\left(\frac{1.2 \sqrt{1000}}{\sqrt{999}}\right) \quad \fbox{e} \ \Phi\left(\frac{0.2 \sqrt{1000}}{\sqrt{1.2 \cdot 999}}\right) \quad \fbox{f} \ \Phi\left(\frac{- 1.2 \sqrt{1000}}{\sqrt{1.2 \cdot 999}}\right) \]

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt approximativ .

Hinweis: Abschnitt 7.4.

Aufgabe 2$\quad$In der PISA-Studie wird mit $X_i$ die Mathe-Punktzahl von deutschen Schüler(inne)n gemessen, $i=1, \ldots, 5000$. Die Studie ist so konstruiert, dass von einer unabhängigen Zufallsstichprobe mit $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$ und $\sigma^2 = 10^4$ ausgegangen werden darf. In der Presse wird die mittlere Punktzahl $\overline X = \frac{1}{5000} \sum_{i=1}^{5000} X_i$ berichtet.
Unterstellen Sie nun $\mu = 510$. Bestimmen Sie dafür das zentrale Schwankungsintervall von $\overline X$ zum Niveau $1-\alpha = 0.99$, $ZSI_{0.99}=[A; B]$.
\[ \fbox {a} \ [510 - z_{0.995} \sqrt{2} ; \quad \fbox {b} \ [510 - z_{0.99} \sqrt{2} ; \quad \fbox {c} \ [510 - 2 z_{0.995} \sqrt{2} ; \quad \fbox{d} \ 503.6427] \quad \fbox {e} \ 513.6427] \quad \fbox {f} \ 523.6427] \]

Das $ZSI_{0.99}=[A; B]$ lautet .

Hinweis: Abschnitt 6.3 und 7.3.

Aufgabe 3$\quad$Es bezeichne $X_i$, $i=1, \ldots, n$, eine unabhängige Folge identisch verteilter Bernoulli-Variablen, die mit Wahrscheinlichkeit $p$ den Wert 1 annehmen, wenn die $i$-te Geburt eine Mädchengeburt ist. Interessiert ist man am Anteil $1 - \overline X$ der Geburten, bei denen kein Mädchen zur Welt kommt. Bestimmen Sie einen Ausdruck für
\[
\frac{\mbox{E}(1 - \overline X)}{\sqrt{\mbox{Var}(1 - \overline X)}}.
\]
\[ \fbox {a} \ \frac{1}{\sqrt{n}} \quad \fbox {b} \ \sqrt{n} \quad \fbox {c} \ \frac{1}{{n}} \quad \fbox{d} \ p(1-p) \quad \fbox {e} \ \frac{1}{p(1-p)} \quad \fbox {f} \ \frac{\sqrt{1-p}}{\sqrt{p}} \]

Der Ausdruck für diesen Bruch lautet .

Hinweis: Abschnitt 7.2.

Aufgabe 4$\quad$Es bezeichne $X_i$, $i=1, \ldots, n$, eine Zufallsstichprobe mit $\mu=\mbox{E} (X_i)$ und $\sigma^2=\mbox{Var} (X_i)$. Bestimmen Sie einen Ausdruck für
\[
\frac{\mbox{E}\left( \sum_{i=1}^n X_i \right)}{{\mbox{Var}\left( \sum_{i=1}^n X_i \right)}}.
\]
\[ \fbox {a} \ \frac{1}{\sigma} \quad \fbox {b} \ \frac{1}{\sigma^2} \quad \fbox {c} \ \frac{1}{{n}} \quad \fbox{d} \ \frac{\mu}{\sigma} \quad \fbox {e} \ \frac{1}{\mu} \quad \fbox {f} \ \frac{\sigma}{\mu} \]

Der Ausdruck für diesen Bruch lautet .

Hinweis: Abschnitt 7.2.

Aufgabe 5$\quad$Die Anzahl der Tage $X_i$, die es dauert, bis eine bestimmte Professorin nach dem $i$-ten Semester ihre Klausurergebnisse ans Prüfungsamt gibt, sei geometrisch verteilt mit $\mbox{E}(X_i) = 7$. Nach 60 Semestern tritt die Dame in den Ruhestand und berechnet $\overline X = \frac{1}{60} \sum_{i=1}^{60} X_i$. Bestimmen Sie approximativ über den zentralen Grenzwertsatz einen Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit $\mbox{P} (\overline X > x)$ für eine beliebige reelle Zahl $x$.
\[ \fbox {a} \ \Phi \left(\frac{x}{\sqrt{60}}\right) \quad \fbox {b} \ \Phi(x-7) \quad \fbox {c} \ \Phi \left(\frac{x-7}{\sqrt{56/60}}\right) \quad \fbox{d} \ 1 - \quad \fbox {e} \ 1 / \quad \fbox {f} \ 1 + \]

$\mbox{P} (\overline X > x)$ ist approximativ gleich .

Hinweis: Abschnitt 6.1 und 7.4.

Aufgabe 6$\quad$Es bezeichne $X_i$, $i=1, \ldots, n$, eine Zufallsstichprobe mit $\mu=\mbox{E} (X_i)$ und $\sigma^2=\mbox{Var} (X_i)$. Welche der nachfolgenden Größen $Z_n$ ist wegen des zentralen Grenzwertsatzes approximativ standardnormalverteilt? Geben Sie alle richtigen Antworten an.

$\fbox{a}$ $Z_n = \left( {\sqrt{n} \sigma^2}\right)^{-1}
    \left( \sum\limits_{i=1}^n X_i - \mu \right)$.
$\fbox{b}$ $Z_n = \left( {\sqrt{n} \, \sigma^2}\right)^{-1}
    \left( \sum\limits_{i=1}^n X_i - n \, \mu \right)$.
$\fbox{c}$ $Z_n = \left( {n} \, \sigma\right)^{-1} \left(
    \sum\limits_{i=1}^n X_i - n \, \mu \right)$.
$\fbox{d}$ $Z_n = \left( {\sqrt{n \, \sigma^2}}\right)^{-1}
    \left( \sum\limits_{i=1}^n X_i - n \, \mu \right)$.
$\fbox{e}$ $Z_n = \left( {n \, \sigma^2}\right)^{-1/2}
    \sum\limits_{i=1}^n (X_i - \mu )$.
$\fbox{f}$ $Z_n = \left( {n \, \sigma^2}\right)^{-1/2}\left(
    \sum\limits_{i=1}^n X_i - \mu \right)$.

Folgende Behauptungen sind richtig .

Hinweis: Abschnitt 7.4.

Aufgabe 7$\quad$Es bezeichne $X_i$, $i=1, \ldots, n$, eine Zufallsstichprobe von fairen Münzwürfen mit
\[
\mbox{P} (X_i = 0) = \mbox{P} (X_i = 1) = \frac{1}{2} \, .
\]
Es bezeichne $H_1$ die relative Häufigkeit, mit der $X_i=1$ auftritt. Approximieren Sie mit dem zentralen Grenzwertsatz die Wahrscheinlichkeit
\[
\mbox{P} \left( \left| H_1 -\frac{1}{2} \right| > \frac{1}{\sqrt{n}} \right)\, .
\]
\[ \fbox {a} \ \Phi \left(\frac{1}{2}\right) \quad \fbox {b} \ - \Phi(2) \quad \fbox {c} \ + \Phi \left(-2\right) \quad \fbox{d} \ - \Phi \left(\frac{1}{2}\right) \quad \fbox {e} \ + \Phi(1) \quad \fbox {f} \ 1 \]

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist approximativ gleich .

Hinweis: Abschnitt 6.1 und 7.4.

Aufgabe 8$\quad$Es seien $X_i$, $i=1, \ldots, n$, unabhängig Poisson-verteilt mit identischem Parameter $\lambda >0$. Geben Sie alle richtigen Aussagen an, wobei $\to$ für Konvergenz mit $n \to \infty$ steht.

$\fbox{a}$ $\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n (X_i - \lambda)^2 \to \lambda$.
$\fbox{b}$ $\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n (X_i - \lambda)^2 \to \lambda^2$.
$\fbox{c}$ $\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n (X_i - \lambda)^2 \to 1$.
$\fbox{d}$ $\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i \to 0$.
$\fbox{e}$ $\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i \to \lambda$.
$\fbox{f}$ $\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i \to \frac{1}{\lambda}$.

Folgende Behauptungen sind richtig .

Hinweis: Abschnitt 6.1 und 7.3.

Aufgabe 9$\quad$Gegeben sei eine Zufallsstichprobe $X_i$, $i=1, \ldots, n$, mit $\mbox{E} (X_i) =0$ und $\mbox{Var} (X_i) = 10$. Geben Sie mit dem arithmetischen Mittel $\overline X $ alle richtigen Aussagen für $\mbox{P} (\overline X > 0)$, wobei Sie approximativ (über den zentralen Grenzwertsatz) argumentieren sollen.

\[ \fbox {a} \ 1 \quad \fbox {b} \ 1 - \mbox{P} (\overline X \leq 0) \quad \fbox {c} \ \mbox{P} (\overline X < 0) \quad \fbox{d} \ \mbox{P} (\overline X = 0) \quad \fbox {e} \ 0 / \quad \fbox {f} \ \frac{1}{2} \]

Die Wahrscheinlichkeit $\mbox{P} (\overline X > 0)$ ist approximativ gleich .

Hinweis: Abschnitt 7.4.

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