Kapitel 6$\quad$Verteilungsmodelle

Aufgabe 1$\quad$Es folge die Zufallsvariable $X$ einer Binomialverteilung, $X \sim Bi(10, 0.7)$, und $Y$ ist definiert als $Y=10-X$.

1.1$\quad$Bestimmen Sie den Erwartungswert von $X$.\[ \fbox{a} \ 0 \quad \fbox{b} \ 0.3 \quad \fbox{c} \ 0.7 \quad \fbox{d} \ 10 \quad \fbox{e} \ 3 \quad \fbox{f} \ p \]

Der Erwartungswert lautet

Hinweis: Abschnitt 6.1.

1.2$\quad$Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit $\mbox{P} (Y < 7)$.
\[ \fbox{a} \ \mbox{P} (X \leq 2) \quad \fbox{b} \ \mbox{P} (X \leq 3) \quad \fbox{c} \ \mbox{P} (X \leq 7) \quad \fbox{d} \ \mbox{P} (X > 7) \quad \fbox{e} \ 1 \quad \fbox{f} \ - \]

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt

Hinweis: Abschnitt 6.1.

Aufgabe 2$\quad$Es sei $X$ Bernoulli-verteilt mit $p=0.5$, $X \sim Be (0.5)$. Geben Sie alle richtigen Antworten an.

$\fbox{a}$ Der Erwartungswert $\mbox{E} (X)$ ist gleich 0.
$\fbox{b}$ Der Wölbungs- (oder Kurtosis-) Koeffizient $\gamma_2$ ist gleich 0.
$\fbox{c}$ Der Schiefe-Koeffizient $\gamma_1$ ist gleich 0.5.
$\fbox{d}$ Der Wölbungs- (oder Kurtosis-) Koeffizient $\gamma_2$ ist gleich 0.5.
$\fbox{e}$ Die Varianz $\mbox{Var} (X) $ ist gleich 0.5.
$\fbox{f}$ Die Varianz $\mbox{Var} (X) $ ist gleich 0.25.

Folgende Behauptungen sind richtig

Hinweis: Abschnitt 6.1.

Aufgabe 3$\quad$Es bezeichne $X$ eine Poisson-Verteilung, $X \sim Po (\lambda)$, mit $\lambda>0$. Geben Sie alle richtigen Antworten an.

$\fbox{a}$ $\mbox{E} (X) = \mbox{Var} (X)$.
$\fbox{b}$ $\mbox{P}(X = 0) = 0$.
$\fbox{c}$ $\mbox{P}(X = 0) = e^{-\lambda} \lambda$.
$\fbox{d}$ $\mbox{P}(X = 0) = e^{-\lambda}$.
$\fbox{e}$ $\mbox{Var} (X) = 1/ \lambda$.
$\fbox{f}$ $\mbox{Var} (X) = \lambda$.

Folgende Behauptungen sind richtig

Hinweis: Abschnitt 6.1.

Aufgabe 4$\quad$Es sei $X$ eine Zufallsvariable. Bei welchen Verteilungen gilt immer $\mbox{Var} (X) = (\mbox{E} (X))^2$? Geben Sie alle richtigen Antworten an. $\mbox{Var} (X) = (\mbox{E} (X))^2$ gilt immer bei

$\fbox{a}$ ... der Binomialverteilung.
$\fbox{b}$ ... der Exponentialverteilung.
$\fbox{c}$ ... der Doppelexponentialverteilung.
$\fbox{d}$ ... der Poisson-Verteilung.
$\fbox{e}$ ... der Pareto-Verteilung.
$\fbox{f}$ ... der Bernoulli-Verteilung.

Folgende Behauptungen sind richtig

Hinweis: Abschnitt 6.1 und 6.2.

Aufgabe 5$\quad$Es folge die Zufallsvariable $X$ einer Exponentialverteilung, $X \sim Ex(\lambda)$, mit $\lambda = 0.25$. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit $\mbox{P} (X \leq 4)$.
\[ \fbox{a} \ + \quad \fbox{b} \ - \quad \fbox{c} \ 1 \quad \fbox{d} \ e^{-1} \quad \fbox{e} \ e \quad \fbox{f} \ e^{-4} \]

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt

Hinweis: Abschnitt 6.2.

Aufgabe 6$\quad$Es folge die Zufallsvariable $X$ einer Doppelexponentialverteilung, $X \sim DEx(\lambda)$, mit $\lambda > 0$. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit $\mbox{P} (X > -1)$.
\[ \fbox{a} \ \frac{1}{2} \quad \fbox{b} \ - \quad \fbox{c} \ \frac{\lambda}{2} \int_{-1}^0 e^{\lambda x} d x \quad \fbox{d} \ \frac{\lambda}{2} \int_{-1}^0 e^{- \lambda x} d x \quad \fbox{e} \ + \quad \fbox{f} \ \int_{-1}^0 e^{\lambda x} d x \]

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt

Hinweis: Abschnitt 6.2.

Aufgabe 7$\quad$Es folge die Zufallsvariable $X$ einer Pareto-Verteilung, $X \sim Pa(\theta; x_0)$, mit $\theta = 3$ und $x_0=10$. Bestimmen Sie die Varianz $\mbox{Var} (X)$.
\[ \fbox{a} \ \frac{1}{2} \quad \fbox{b} \ 100/ \ \quad \fbox{c} \ 4 \quad \fbox{d} \ 7 \quad \fbox{e} \ + \quad \fbox{f} \ 3 \]

Die gesuchte Varianz beträgt

Hinweis: Abschnitt 6.2.

Aufgabe 8$\quad$Es folge die Zufallsvariable $X$ einer Normalverteilung, $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, mit $\mu = 22$ und $\sigma^2=0.25$. Bestimmen Sie das zentrale Schwankungsintervall zum 90%-Niveau, $ZSI_{0.9} = [A ; B]$.
\[ \fbox{a} \ [22 - z_{0.95} \cdot 0.5 ; \quad \fbox{b} \ [22 - z_{0.95} \cdot 0.25 ; \ \quad \fbox{c} \ [22 - z_{0.9} \cdot 0.5 ; \quad \fbox{d} \ [22 - z_{0.05} \cdot 0.5 ; \quad \fbox{e} \ 22 + 1.96 \cdot 0.25 ] \quad \fbox{f} \ 22 + 1.6449 \cdot 0.5 ] \]

Das gesuchte Schwankungsintervall lautet

Hinweis: Abschnitt 6.3.

Aufgabe 9$\quad$Es folge die Zufallsvariable $X$ einer Normalverteilung, $X \sim N(\mu, \sigma^2)$. Geben Sie alle falschen Behauptungen an (mit der üblichen Notation).

$\fbox{a}$ $f(\mu) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}$.
$\fbox{b}$ $\sigma^2= \mbox{E}(X^2) - \mu^2$.
$\fbox{c}$ $f(\mu-x) = f(\mu+x)$.
$\fbox{d}$ $f(-x) = f(x)$.
$\fbox{e}$ $\gamma_2 = 0$.
$\fbox{f}$ $x_{0.5} = \mu$.

Folgende Behauptungen sind falsch

Hinweis: Abschnitt 6.3.

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