Kapitel 5$\quad$Zufallsvariablen und Verteilungen

Aufgabe 1$\quad$Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable $X$ mit der Dichtefunktion
\[
f(x)=\frac{3}{14} \, \sqrt{x}, \quad 1 \leq x \leq 4 ,
\]
und $f(x)=0$ sonst.

1.1$\quad$Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion $F(x)$ auf dem Intervall $\left[ 1 , 4\right]$.
\[ \fbox {a} \ x^{3/2} \quad \fbox{b} \ \frac{x^{3/2}}{7} \quad \fbox{c} \ -1 \quad \fbox{d} \ x^3-1 \quad \fbox{e} \ + \frac{1}{7} \quad \fbox{f} \ - \frac{1}{7} \]

Die Verteilungsfunktion ist gleich .

Hinweis: Abschnitt 5.3.

1.2$\quad$Bestimmen Sie den Erwartungswert von $X$.

\[ \fbox{a} \ (2^5-1) \quad \fbox{b} \ (2^3-1) \quad \fbox {c} \ /35 \quad \fbox {d} \ 3/35 \quad \fbox {e} \ 5 \quad \fbox {f} \ (2^{3/2}-1) \]

Der Erwartungswert ist gleich .

Hinweis: Abschnitt 5.4.1.

Aufgabe 2$\quad$Es sei $X$ eine diskrete Zufallsvariable, die nur die Werte $1$, $2$ und $3$ annehmen kann. Die zugehörige Verteilungsfunktion sei $F$. Geben Sie einen Ausdruck für $F(2.5)$ an.
\[ \fbox {a} \ F(3) \quad \fbox {b} \ \mbox{P} (X=2) \quad \fbox {c} \ + \quad \fbox{d} \ \mbox{P} (X=3) \quad \fbox {e} \ 0 \quad \fbox {f} \ \mbox{P} (X=1) \]

$F(2.5)$ ist gleich .

Hinweis: Abschnitt 5.2.

Aufgabe 3$\quad$Berechnen Sie das Integral $\int_0^x \frac{2}{\sqrt{a}} \mbox{d} a$.
\[ \fbox {a} \ 4 \sqrt{a} \quad \fbox{b} \ 4 \quad \fbox{c} \ 2 x \quad \fbox{d} \ \sqrt{x} \quad \fbox{e} \ x \quad \fbox{f} \ 2a \]

Das Integral ist gleich .

Hinweis: Abschnitt 5.3.

Aufgabe 4$\quad$Bilden Sie die Ableitung von $f(t) = 1 - e^{- \lambda t}$ nach $t$.

\[ \fbox{a} \ - e^{- \lambda t} \quad \fbox{b} \ \lambda t \quad \fbox{c} \ e^{ \lambda t} \quad \fbox{d} \ - e^{ \lambda t} \quad \fbox{e} \ e^{- \lambda t} \quad \fbox{f} \ \lambda \]

Die Ableitung ist gleich .

Hinweis: Abschnitt 5.3.

Aufgabe 5$\quad$Es sei $X$ eine diskrete Zufallsvariable, die nur die Werte $1, 2, 4, 8, \ldots, 2^k, \ldots$ annehmen kann, und zwar mit den Wahrscheinlichkeiten $\mbox{P} (X=2^k) = 1/2^{k+1}$, $k=0,1,2, \ldots$. Geben Sie alle falschen Behauptungen an. Für den Erwartungswert $\mbox{E} (X)$ ergibt sich

\[\fbox{a} \ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k} \quad \fbox{b} \ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2} \quad \fbox{c} \ \sum_{k=0}^\infty {2^k} \quad \fbox{d} \ \sum_{k=0}^\infty \frac{2^k}{2^{k+1}} \quad \fbox{e} \ \sum_{k=0}^\infty \frac{2}{2^{k+1}} \quad \fbox{f} \ \infty \]

Folgende Behauptungen sind falsch: .

Hinweis: Abschnitt 5.4.1.

Aufgabe 6$\quad$Es sei $X$ eine stetige Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ auf dem Intervall $[0, \infty)$ mit $\lambda >0$ und $F(x)=0$ sonst. Geben Sie alle richtigen Behauptungen an. Für das $p$-Quantil $x_p$ ergibt sich

\[\fbox{a} \ \frac{\log(1-p)}{\lambda} \quad \fbox{b} \ \frac{\log(p-1)}{\lambda} \quad \fbox{c} \ - \frac{\log(1-p)}{\lambda} \quad \fbox{d} \ \frac{{\log(1/(1-p))}}{\lambda} \quad \fbox{e} \ \frac{\log(1-\lambda)}{p} \quad \fbox{f} \ - \frac{\log(1-\lambda)}{p}\]

Alle richtigen Behauptungen lauten .

Hinweis: Abschnitt 5.4.1.

Aufgabe 7 $\quad$Es sei $X$ eine Zufallsvariable mit endlicher Varianz und $a$ eine Konstante. Gesucht ist ein Ausdruck für $\mbox{Var} (X-a)$.
\[ \fbox{a} \ \mbox{E}(X^2-a) \quad \fbox{b} \ (\mbox{E}(X))^2-a^2 \quad \fbox {c} \ -(\mbox{E}(X))^2+a^2 \quad \fbox {d} \ -(\mbox{E}(X))^2 \quad \fbox {e} \ \mbox{E}(X^2) \quad \fbox {f} \ a^2\mbox{E}(X^2) \]

Diese Varianz ist gleich .

Hinweis: Abschnitt 5.4.2.

Aufgabe 8$\quad$Es sei $X$ eine stetige Zufallsvariable mit der Dichte $f(x)=1/x^2$ auf dem Intervall $[1, \infty)$ und $f(x)=0$ sonst. Geben Sie einen Ausdruck für den Interquartilsabstand $x_{0.75} - x_{0.25}$ an.
\[ \fbox{a} \ 4 \quad \fbox{b} \ - \frac{4}{3} \quad \fbox {c} \ 3 \quad \fbox {d} \ - \frac{3}{4} \quad \fbox {e} \ 2 \quad \fbox {f} \ 0.75 - 0.25 \]

Der Interquartilsabstand ist gleich .

Hinweis: Abschnitt 5.4.2.

Aufgabe 9$\quad$Es seien $X$ und $Y$ Zufallsvariablen mit $\mbox{Var} (X)=16$, $\mbox{Var} (Y)=9$ und Kovarianz $\mbox{Cov} (X,Y)=5$. Geben Sie alle richtigen Behauptungen an. Für folgende Varianzen ergibt sich

\[\fbox{a} \ \mbox{Var}(X+Y) = 15 \quad \fbox{b} \ \mbox{Var}(X+Y) = 25 \quad \fbox{c} \ \mbox{Var}(X+Y) = 35 \quad \fbox{d} \ \mbox{Var}(X-Y) = 15 \quad \fbox{e} \ \mbox{Var}(X-Y) = 25 \quad \fbox{f} \ \mbox{Var}(X-Y) = 20\]

Folgende Behauptungen sind richtig: .

Hinweis: Abschnitt 5.5.3.

Aufgabe 10$\quad$Es seien $X$ und $Y$ Zufallsvariablen mit $\mbox{E} (X)=\mbox{E} (Y)=2$, $\mbox{E} (X^2)=13$, $\mbox{E} (Y^2)=20$ und $\mbox{E} (YX)=1$ . Geben Sie einen Ausdruck für den Korrelationskoeffizienten $\rho_{xy}$ an.
\[ \fbox{a} \ 1/ \quad \fbox{b} \ {4} \quad \fbox {c} \ \frac{1}{4} \quad \fbox {d} \ - 1/ \quad \fbox {e} \ 12 \quad \fbox {f} \ 0 \]

Der Korrelationskoeffizient ist gleich .

Hinweis: Abschnitt 5.5.3.

Aufgabe 11 $\quad$Es sei $X$ eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion $f(x)=1 - |x|$ auf dem Intervall $[-1, 1]$ und $f(x)=0$ sonst. Es bezeichnen $\gamma_1$ und $\gamma_2$ die Schiefe- bzw. Kurtosiskoeffizienten. Geben Sie alle richtigen Behauptungen an. Es gilt

\[\fbox{a} \ \gamma_1 =0 \quad \fbox{b} \ \gamma_2 = 0 \quad \fbox{c} \ \gamma_1 =1 \quad \fbox{d} \ \gamma_1 < 0 \quad \fbox{e} \ \gamma_2 \geq 1 \quad \fbox{f} \ \gamma_1 > 0\]

Alle richtigen Behauptungen lauten .

Hinweis: Abschnitt 5.4.3.

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