Kapitel 4$\quad$Wahrscheinlichkeitsrechnung

Vorbemerkung$\quad$Für ein Ereignis $A$ bezeichnet $\overline A$ das Gegenereignis, sodass bekanntlich gilt: $P(\overline A) = 1 - P(A)$.

Aufgabe 1$\quad$In einer Gemeinde beträgt der Anteil der Einwohner(innen), die Partei $A$ wählen, ${P} (A)$; der Anteil der Einwohner(innen), die den Bau eines neuen Hallenbads befürworten, ist durch ${P} (B)$ gegeben. Der Anteil der Einwohner(innen), die die Partei $A$ wählen und für den Bau des Hallenbades sind, macht $P(A \cap B)$ aus.

1.1$\quad$Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Einwohner (oder eine Einwohnerin) die Partei $A$ wählt aber gegen den Bau des Hallenbades ist? \[ \fbox {a} \ P(A) \quad \fbox{b} \ P(B) \quad \fbox{c} \ - P(A \cup B) \quad \fbox{d} \ + P(A \cup B) \quad \fbox{e} \ + P(A \cap B) \quad \fbox{f} \ - P(A \cap B) \]

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt

Hinweis: Abschnitt 4.2.

1.2$\quad$Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Einwohner (oder eine Einwohnerin) die Partei $A$ wählt oder den Bau des Hallenbades befürwortet? \[ \fbox {a} \ P(\overline A) \quad \fbox{b} \ - P(B) \quad \fbox{c} \ + P(B) \quad \fbox{d} \ P(A) \quad \fbox{e} \ + P(A \cap B) \quad \fbox{f} \ - P(A \cap B) \]

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt

Hinweis: Abschnitt 4.2.

Aufgabe 2$\quad$Der Anteil der Studierenden, die die Matheklausur nicht bestehen, betrage $P(\overline M)$, der Anteil derer, die die Statistikklausur nicht bestehen, sei $P(\overline S)$; der Anteil derer, die Mathe nicht bestehen oder Statistik nicht bestehen, wird durch $P(\overline M \cup \overline S)$ bezeichnet.

2.1$\quad$Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Studierendes die Matheklausur und die Statistikklausur besteht? \[ \fbox {a} \ - P(M) \quad \fbox{b} \ 1 \quad \fbox{c} \ + P(S) \quad \fbox{d} \ + P(\overline M) \quad \fbox{e} \ - P(\overline S \cup \overline M) \quad \fbox{f} \ - P(S) \]

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt

Hinweis: Abschnitt 4.1 und 4.2.

2.2$\quad$Weiterhin bezeichne $P(\overline S | \overline M)$ den Anteil der in Mathe Durchgefallenen, die auch die Statistikklausur nicht bestehen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Studierendes die Matheklausur und die Statistikklausur nicht besteht? \[ \fbox {a} \ P(\overline M) \quad \fbox{b} \ P(\overline S | \overline M) \quad \fbox{c} \ P(S) \quad \fbox{d} \ P(M) \quad \fbox{e} \ - P(\overline S \cup \overline M) \quad \fbox{f} \ - P(S) \]

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt

Hinweis: Abschnitt 4.3.

Aufgabe 3$\quad$Es seien $A$ und $B$ beliebige Ereignisse mit $P(A)>0$ und $P(B)>0$. Geben Sie alle richtigen Antworten an.

$\fbox{a}$ $P(A \cap B) + P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
$\fbox{b}$ $P(A \cap B) = P(A) + P(B)$.
$\fbox{c}$ $P(\overline{B} |   \overline{A}) = 1 - P({B} |   \overline{A}) $.
$\fbox{d}$ $P(\overline{B} |   \overline{A}) = 1 - P({B} |   {A}) $.
$\fbox{e}$ $P(\overline{A} |   \overline{B}) \leq   P( \overline{A}) $.
$\fbox{f}$ $P(\overline{A} |   \overline{B}) \geq   P( \overline{A}) $.

Folgende Behauptungen sind richtig

Hinweis: Abschnitt 4.2 und 4.3.

Aufgabe 4$\quad$Es seien $A$ und $B$ beliebige Ereignisse mit $P(A)>0$ und $P(B)>0$. Geben Sie alle richtigen Antworten an.

$\fbox{a}$ Wenn $A$ in $B$ enthalten ist, d. h. $A \subseteq B$, dann sind $A$ und $B$ stochastisch unabhängig.
$\fbox{b}$ Wenn $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind, dann folgt, dass sie keine gemeinsamen Elemente haben, d. h. $A \cap B = \emptyset$.
$\fbox{c}$ Wenn $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind, dann folgt $P(A \cap B) = 0$.
$\fbox{d}$ Wenn $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind, dann folgt $P(A \cap B) = P(A) P(B)$.
$\fbox{e}$ Wenn $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind, dann sind $\overline A$ und $\overline B$ stochastisch unabhängig.
$\fbox{f}$ Wenn $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind, dann folgt $P(A) = P(A|B)$.

Folgende Behauptungen sind richtig

Hinweis: Abschnitt 4.4.

Aufgabe 5$\quad$Im ersten Semester bestehen 80% aller Studierenden die Mathematikklausur, 85% bestehen Statistik, und 90% derer, die Mathematik bestanden haben, kommen auch durch die Statistikklausur. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Studierendes die Matheklausur besteht, wenn es Statistik bestanden hat? \[ \fbox {a} \ 0.85 \quad \fbox{b} \ \frac{1}{0.9} \quad \fbox{c} \ \frac{0.9}{1 - 0.8} \quad \fbox{d} \ 0.9 - 0.8 \quad \fbox{e} \ \frac{0.9 \cdot 0.8}{0.85} \quad \fbox{f} \ \frac{1}{0.8} \]

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt

Hinweis: Abschnitt 4.3.

Aufgabe 6$\quad$Es seien $A$ und $B$ beliebige Ereignisse. Geben Sie alle richtigen Antworten an.

$\fbox{a}$ $P(A) \, P(B) = 1 - P(\overline{A} \cup \overline{B})$.
$\fbox{b}$ $P(\overline{A}) \geq P(\overline{B})$, falls $ B \subseteq A$.
$\fbox{c}$ $P(\overline{A}) \leq P(\overline{B})$, falls $ B \subseteq A$.
$\fbox{d}$ $P(A \setminus B)= P(A) - P (A \cap B)$.
$\fbox{e}$ $P(A \setminus B)= P(A) - P (B) + P (A \cap B)$.
$\fbox{f}$ $P(A \setminus B)= P(A) - P (A \cup B)$.

Folgende Behauptungen sind richtig

Hinweis: Abschnitt 4.2.

Aufgabe 7$\quad$Es seien $A$ und $B$ beliebige Ereignisse. Geben Sie alle richtigen Antworten an.

$\fbox{a}$ $P(A|B) \geq P(A)$.
$\fbox{b}$ $P(\overline{A}|B)= 1 - P(A|B)$.
$\fbox{c}$ $P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A}\cap \overline{B})$.
$\fbox{d}$ $P(A \cup B) = P(A) +P(B)P(\overline{A})$.
$\fbox{e}$ $P(\overline{B}|\overline{A})= 1 -P(\overline{B}|A)$.
$\fbox{f}$ $P(\overline{B}|\overline{A})= 1 -P({B}\cap A)$.

Folgende Behauptungen sind richtig

Hinweis: Abschnitt 4.1, 4.2 und 4.3.

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