Kapitel 3$\quad$Weiterführende Methoden und Zusammenhangsanalysen

Aufgabe 1$\quad$In der Wirtschaftstheorie wird oft ein Zusammenhang zwischen den Konsumausgaben ($Y$) und dem verfügbaren Einkommen ($X$) postuliert. Eine Befragung von $n$ Haushalten liefert folgende Größen:
\[
\overline{x}, \ \overline{y}, \ \overline{xy}, \ d_{x}^{2}, \ d_{y}^{2} \, .
\]


1.1$\quad$Bestimmen Sie die empirische Kovarianz $d_{xy}$ zwischen $Y$ und $X$. \[ \fbox {a} \ - \overline{x} \cdot \overline{y} \quad \fbox{b} \ d_{x}^{2} \quad \fbox{c} \
        \overline{xy} \quad \fbox{d} \ d_{y}^{2} \quad \fbox{e} \ + \overline{x} \cdot \overline{y} \quad \fbox{f} \ \frac{1}{d_x d_y} \]

Die empirische Kovarianz $d_{xy}$ lautet

Hinweis: Abschnitt 3.4.


1.2$\quad$Bestimmen Sie den empirischen Korrelationskoeffizienten $r_{xy}$ zwischen $Y$ und $X$. \[ \fbox {a} \ (\overline{xy} - \overline{x} \cdot \overline{y}) \quad \fbox{b} \ d_{x}^{2} \quad \fbox{c} \
        \overline{x} \quad \fbox{d} \ d_{y}^{2} \quad \fbox{e} \ \overline{y} \quad \fbox{f} \ \frac{1}{d_x d_y} \]

Der empirische Korrelationskoeffizient $r_{xy}$ lautet

Hinweis: Abschnitt 3.4.


Aufgabe 2$\quad$Im Rahmen einer Marktstudie wird die Konzentrationsfläche (Fläche zwischen Lorenz-Kurve und Winkelhalbierender) bei einem Stichprobenumfang von $n$ als 0.23 bestimmt. Wie groß ist dann der normierte Gini-Koeffizient $G^*$? \[ \fbox {a} \ \frac{n-1}{n} \quad \fbox{b} \ \frac{n}{n-1} \quad \fbox{c} \
        \frac{1}{n} \quad \fbox{d} \ 0.23 \quad \fbox{e} \ 2 \quad \fbox{f} \ \frac{1}{2} \]

Der normierte Gini-Koeffizient $G^*$ beträgt

Hinweis: Abschnitt 3.1.


Aufgabe 3$\quad$Der Verlauf einer Zeitreihe sei durch $x_t = 1500 \, e^{0.02 \, t}$ gegeben, $t=1,2, \ldots, n$. Wie groß ist die stetige Wachstumsrate $\rho_t$ im Zeitpunkt $t$? \[ \fbox{a} \ 0.02 \%  \quad \fbox{b} \ 0.2 \% \quad \fbox{c} \ 2 \% \quad \fbox{d} \ 20 \% \quad \fbox{e} \ e^{0.02 \, t} \quad \fbox{f} \ 1500 \cdot 0.02 \, t \]

Die stetige Wachstumsrate $\rho_t$ beträgt

Hinweis: Abschnitt 3.2.


Aufgabe 4$\quad$Gegeben sind die zeitlichen Beobachtungen
\[
x_1= 0.85, \ x_2=1.01, \ x_3= 0.90, \ x_4=1.00,
\]
mit dem Startwert $x_0=1.25$. Wie groß ist die mittlere geometrische Wachstumsrate $\tilde r$? \[ \fbox{a} \ \sqrt{\sqrt{\frac{1}{1.25}}}   \quad \fbox{b} \ \sqrt{\frac{1}{1.25}} \quad \fbox{c} \ \frac{1}{1.25} \quad \fbox{d} \ -1  \quad \fbox{e} \ + 1 \quad \fbox{f} \ \left(\frac{1}{1.25}\right)^{1/5} \]

Die mittlere geometrische Wachstumsrate $\tilde r$ beträgt

Hinweis: Abschnitt 3.2.


Aufgabe 5$\quad$Von $n=150$ Absolvent(inn)en, die befragt wurden, ob sie während ihres Studiums ein Praktikum absolviert haben oder nicht, waren 74 Männer und der Rest waren Frauen. Von den Männern haben 33 ein Praktikum absolviert, 41 dagegen nicht. Von den Frauen haben 37 ein Praktikum hinter sich gebracht. Wieviele Frauen gibt es in der Stichprobe, die kein Praktikum gemacht haben? \[ \fbox{a} \ 31   \quad \fbox{b} \ 33 \quad \fbox{c} \ 35 \quad \fbox{d} \ 37  \quad \fbox{e} \ 39 \quad \fbox{f} \ 41 \]

Die Anzahl der Frauen ohne Praktikum ist gleich

Hinweis: Abschnitt 3.3.


Aufgabe 6$\quad$ In der Wirtschaftstheorie wird oft ein linearer Zusammenhang zwischen der Nachfrage ($Y$) und dem Preis ($X$) postuliert. Eine Befragung von 10 Haushalten lieferte die mittleren quadratischen Abweichungen $d_x^2$ und $d_y^2$ und den Korrelationskoeffizienten von $r_{xy}$. Betrachten Sie die lineare Regression  $\hat y = \hat a + \hat b
\, x$, die nach der Methode der kleinsten Quadrate gerechnet wurde. Bestimmen Sie den Steigungsparameter $\hat b$. \[ \fbox{a} \ d_y   \quad \fbox{b} \ d_x \quad \fbox{c} \ r_{xy} \quad \fbox{d} \ \frac{1}{r_{xy}}  \quad \fbox{e} \ \frac{1}{d_{x}} \quad \fbox{f} \ \frac{1}{d_{y}} \]

Der Wert des Steigungsparameters $\hat b$ beträgt

Hinweis: Abschnitt 3.4 und 3.5.


Aufgabe 7$\quad$Zwischen der Inflation ($Y$) und der Wachstumsrate der Geldmenge ($X$) wird im Mittel ein linearer Zusammenhang unterstellt, $Y=a+bX$. Folgende Werte wurden gemessen ($\widehat a$ und $\widehat b$ bezeichnen die Kleinste-Quadrate-Werte):
\[
\overline x=1.234, \ \overline y = 0.985 , \ \widehat{b} = 0.850 \, .
\]
Bestimmen Sie den Achsenabschnitt, $\widehat a$. \[ \fbox{a} \  - 0.985  \quad \fbox{b} \ - 0.85 \cdot 1.234 \quad \fbox{c} \ + 0.85 \cdot 1.234 \quad \fbox{d} \  - 0.85 \cdot 0.985 \quad \fbox{e} \ - \frac{0.85}{1.234} \quad \fbox{f} \ 0.985 \]

Der Achsenabschnitt, $\widehat a$, beträgt

Hinweis: Abschnitt 3.5.


Aufgabe 8$\quad$Betrachten Sie eine lineare Regression, deren Gerade nach der Methode der Kleinsten Quadrate aus einer verbundenen Stichprobe $(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$ bestimmt wurde:
\[
\widehat y = \hat a + \widehat b \, x \, .
\]
Geben Sie alle richtigen Antworten an.

$\fbox{a}$ Wenn alle Werte $x_1, \ldots, x_n$ und $y_1, \ldots, y_n$ positiv sind, so ist auch $\widehat a$ positiv.
$\fbox{b}$ Wenn alle Werte $x_1, \ldots, x_n$ und $y_1, \ldots, y_n$ positiv sind, so ist auch $\widehat b$ positiv.
$\fbox{c}$ Wenn $\widehat a >0$ und $\widehat b >0$ gilt, dann sind alle Werte $y_1, \ldots, y_n$ auch positiv.
$\fbox{d}$ Wenn alle Werte $x_1, \ldots, x_n$ und $y_1, \ldots, y_n$ positiv sind, und wenn der Korrelationskoeffizient positiv ist, $r_{xy} > 0$, so ist $\widehat a$ positiv.
$\fbox{e}$ Wenn alle Werte $x_1, \ldots, x_n$ und $y_1, \ldots, y_n$ positiv sind und wenn der Korrelationskoeffizient negativ ist, $r_{xy} < 0$, so ist $\widehat a$ positiv.
$\fbox{f}$ Wenn alle Werte $x_1, \ldots, x_n$ und $y_1, \ldots, y_n$ positiv sind und $\widehat a$ negativ ist, dann ist $\widehat b$ positiv.

Folgende Behauptungen sind richtig

Hinweis: Abschnitt 3.4 und 3.5.


Aufgabe 9$\quad$Für eine verbundene Stichprobe vom Umfang $n$ gelte $x_1 < 0, \ldots, x_n < 0$ und $y_1 > 0, \ldots, y_n > 0$. Es bezeichne $r_{xy}$ den empirischen Korrelationskoeffizienten, und $\widehat a$ und $\widehat b$ sind die Kleinste-Quadrate-Werte einer linearen Regression, $\widehat y = \widehat a + \widehat b \,  x$. Geben Sie alle richtigen Antworten an.

$\fbox{a}$ Wenn $\widehat b > 0$ gilt, dann folgt $\widehat a < 0$.
$\fbox{b}$ Wenn $\widehat b > 0$ gilt, dann folgt $r_{xy} > 0$.
$\fbox{c}$ Wenn $\widehat b > 0$ gilt, dann folgt $\widehat a > 0$.
$\fbox{d}$ $r_{xy} < 0$.
$\fbox{e}$ $r_{xy} > 0$.
$\fbox{f}$ Wenn $\widehat b > 0$ gilt, dann folgt $r_{xy} < 0$.

Folgende Behauptungen sind richtig

Hinweis: Abschnitt 3.4 und 3.5.

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Die Hinweise beziehen sich auf das Buch: Hassler, Uwe: Statistik im Bachelor-Studium, Wiesbaden (Springer Gabler) 2018
(c) Uwe Hassler 2019  |  Für die Anzeige der Formeln und für interaktive Aufgaben muss in Ihrem Browser Javascript aktiviert sein.

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